Matematika SMP : Aljabar

Kali ini, kamu akan membahas aljabar kelas 7 untuk SMP. Namun, sebelum masuk ke dalam materi yang lebih dalam, ada baiknya untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan aljabar baik itu secara umum atau dalam matematika.

Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

Sekarang kamu sudah mengerti apa itu aljabar, sekarang sudah waktunya untuk masuk ke dalam materi aljabar. Akan dibahas untuk bentuk dan rumus aljabar, operasi hitung aljabar, faktorisasi aljabar, dan bagaimana cara menyederhanakan bilangan pecahan aljabar.

Artikel Lainnya : Matematika SMP

Bentuk Aljabar dan Rumus Aljabar

Mulai dari bentuk aljabar. Aljabar memiliki bentuk yang terdiri dari bentuk-bentuk yang disusun dari suku-suku.

Contoh aljabar:

Bentuk aljabar di atas memiliki 3 suku, di mana a koefisien dari x2, b koefisien dari x, dan c adalah konstanta. Sedangkan x yaitu variabel.

3x + 4y + 5

Bentuk aljabar di atas memiliki tiga suku di mana 3 koefisien dari x, 4 koefisien dari y dan 5 adalah konstanta, x dan y adalah variabel.

Apakah yang disebut dengan suku, konstanta, dan juga variabel?

Pengertian Variabel, Konstanta, dan Suku pada Bentuk Aljabar

Variabel atau perubah adalah lambang yang menunjukan satu atau sekumpulan bilangan.

Koefisien adalah bilangan yang menyertai variabel.

Sedangkan untuk konstanta adalah lambang suatu bilangan tertentu yang tidak dituliskan dengan perubah. Suku-suku adalah bilangan dan perubah yang dihubungkan oleh tanda penjumlahan atau pengurangan.

Bentuk Suku Banyak

Bentuk suku banyak adalah seperti dibawah ini:

Contoh:

• 1 jika n = 0, suku banyak di atas menjadi a0 yang disebut suku satu dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah nol.
• 3x + 6 jika n = 1, suku banyak di atas menjadi a1x + a0 yang disebut suku dua (binom) dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah satu.
• 4×2 – 2x + 9 jika n = 2, suku banyak di atas menjadi a2x2 + a1x + a0 yang disebut suku tiga (trinom) dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah dua.

Pecahan Bentuk Aljabar

Apa yang dimaksud dengan pecahan dalam bentuk aljabar? Seperti yang kamu tahu, pecahan terdiri dari 2 membentuk, yaitu pembilang dan penyebut. Dan pada kali ini, pecahan dalam bentuk aljabar memiliki bentuk pembilang dan penyebut yang berbentuk aljabar. Mulai dari yang sederhana saja, sebagai contoh awal, aljabar disini memiliki penyebutnya satu suku.

Contoh:

Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Sekarang masuk ke materi operasi hitung bentuk aljabar, ada 4 bentuk hitung yang akan kamu pelajari. Diantaranya adalah penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pengkuadratan, dan pangkat tinggi dari suku dua. Berikut ini adalah pembahasan untuk masing-masing:

Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

Bentuk aljabar yang bisa dijumlahkan dan dikurangkan yaitu hanya dalam bentuk aljabar yang memiliki suku yang sama, dan juga koefisiennya dalam suku yang sama.

Penjumlahan dalam bentuk aljabar:

Pengurangan dalam bentuk aljabar:

Keterangan:

• a dan b = koefisien
• n = Variabel

Contoh soal dan pembahasannya:

Perkalian dan Pembagian Aljabar

Ada hal yang perlu kamu ingat sebelum mengerjakan perkalian dan pembagian bentuk aljabar. Kuncinya adalah sebagai berikut:

• Untuk perkalian aljabar, kalikan semua suku-suku yang terdapat dalam bentuk aljabar.
• Untuk pembagian aljabar, membagikan antar suku dengan faktor persekutuannya.

Perkalian

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku dua:

• a = sebuah bilangan
• n = variabel
• b = koefisien
• c = konstanta

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku tiga:

Contoh soal:

1. 2x ( 3x + 4 y )  = 6 x2  +  8xy
2. 3y ( 2x + 6y )  = 6xy +  18y2
3. 4y ( 2x + 3y ) = 8xy + 12 y2
4. x ( x2 – x + 1 ) =  x3 –  x2  + x
5. 4x ( x2  + 2 + 8 ) = 4 x3  + 8x + 32x

Sebuah halaman rumah yang berbentuk segi panjang memiliki lebar ( n+ 2 ) dan panjangnya ( 6n +2 ), maka hitunglah Luas tanah tersebut dan panjang serta lebar apabila variabel n = 2  !

Penyelesaian:

Diketahui:

p = 6n +2

l = n + 2

Ditanya:

1. 1.Luas tanah
2. P dan l, jika n = 2

Jawab :

L tanah = p  x l

= ( 6n + 2 ) x ( n+ 2 )

= 6n x n + 6n x 2 + 2 x n + 2 x 2

= 6n2  + 12n + 2n + 4

= 6n2 + 14n + 4

Jadi, Luas halaman rumah tersebut dalam bentuk aljabar =  6n2 + 14n + 4

atau apabila n= 2

Luas =  6n2 + 14n + 4

=6( 22 ) + 14(2) + 4

= ( 6 x 4 ) + 28 + 4

= 24 + 28 + 4

= 56

2.  p = 6n +2 =  6(2) + 2 = 14

l = n + 2 = 2 + 2 = 4

Jadi, panjang nya adalah 14 dan lebarnya adalah 4.

Pembagian

Bentuk pembagian aljabar:

Keterangan:

Untuk pembagian dalam bentuk aljabar, pertama kali yang harus dilakukan adalah merubahnya menjadi bentuk pecahan dimana penyebutnya adalah pembaginya.

Setelah itu, tentukan faktor persekutuan dari kedua bentuk aljabar tersebut.

Oke, untuk memahaminya lebih lanjut, simak contoh dibawah ini baik-baik:

1. 2x : 2 = 2x / 2
   1. = x
2. 24×2 y + 12 xy2  : 4xy
3. 24×2 y + 12 xy2    /   4xy

= 24×2 y  / 4xy  +    12xy2  / 4xy

= 6x + 3y

1. ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) : ( -2p )

=  ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) /  ( -2p )

=  8p3 + 10p2  – 12 p  /  -2p

=  -4p2  – 5p + 6

Pengkuadratan Suku Dua

Bentuk kuadrat adalah bentuk yang lain dari perkalian satu suku banyak dengan dirinya sendiri sebanyak dua kali. Kamu bisa menggunakan sifat distribusi perkalian yang imbang.

Agar mudah pemahamannya, berikut caranya:

Contoh soal:

1. ( x – 5 ) ( x + 2 ) = ( x – 5 )x + ( x – 5 )2

= x2 – 5x + 2x – 10

= x2 – 3x – 10

1. ( -4x + 3 ) ( x – 6 )= ( -4x + 3 )x +  ( -4x + 3 ) (-6)

= -4×2 + 3x + 24x – 18

= -4×2 + 27x – 18

1. ( 4 + 3a ) ( a – 7 ) = ( 4 + 3a )a + ( 4 + 3a )(-7)

= 4a + 3a2 – 28 -21a

= 3a2 – 17a – 28

Pangkat Tinggi dari Suku Dua

Untuk pangkat tinggi dari suku dua, bentuk aljabar ini meliputi perpangkatan yang lebih dari dua, yaitu (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, … dan seterusnya.

Untuk memudahkan pemahaman, perhatikan bentuk aljabar pangkat tinggi dari suku dua dibawah ini:

(ax + by), maka akan berlaku:

(ax + by)ⁿ = (ax + by)(ax + by)(ax + by) . . . (ax + by)

Dimana (ax + by) sebanyak n.

Contoh soal pangkat tinggi dari suku dua:

1. (2a)2

(2a)2 = (2a)(2a)

(2a)2 = 4a2

1. (3xy)3

(3xy)3 = (3xy)(3xy)(3xy)

(3xy)3 = 9x3y3

1. (–2ab)4

(–2ab)4 = (–2ab)(–2ab)(–2ab)(–2ab)

(–2ab)4 = 8a4b4

Faktorisasi Aljabar

Pemfaktoran aljabar yaitu sebuah rumus untuk menyatakan sebuah bentuk persamaan aljabar menjadi sebuah bentuk perkalian aljabar dan faktorisasinya.

Faktorisasi ax + ay dan ax – ay

Untuk memfaktorkan ax + ay dan ax – ay adalah menuliskan ax + ay dan ax – ay dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Dari hukum distribusi didapatkan a (x + y) = ax + ay atau ax + ay = a (x + y).

Dapat diambil kesimpulan bahwa a dan (x + y) adalah faktor dari (ax + ay).

Contoh:

• 5x + 10y = 5(x + 2y)
• 4×2 + 4xy = 4x(x + y)

Faktorisasi x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy +y2

Faktorisasi ini bisa diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Maka untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 bisa diselesaikan dengan cara berikut:

x2 + 2xy + y2

= x2 + xy + xy + y2

= (x2 + xy) + (xy + y2)

= x(x + y) + y(x + y)

= (x + y)(x + y)

= (x + y)2

Lalu untuk memfaktorkan x2 – 2xy + y2 bisa diselesaikan dengan cara berikut:

x2 – 2xy + y2

= x2 – xy – xy + y2

= (x2 – xy) – (xy – y2)

= x(x – y) – y(x – y)

= (x – y)(x – y)

Dari kedua faktorisasi diatas, dapat disimpulkan bahwa:

Contoh soal Faktorisasi x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy +y2 :

1. x2 – 6x + 9

= x2 – 3x – 3x + 9

= (x2 – 3x) – (3x – 9)

= x (x – 3) – 3 (x – 3)

= (x – 3)(x – 3)

= (x – 3)2

1. p2 – 18p + 81

= p2 – 9b – 9p + 81

= (p2 – 9p) – (9p – 81)

= p (p – 9) – 9 (p – 9)

= (p – 9)(p – 9)

= (p – 9)2

1. b2 + 6b + 9

= b2 + 3b + 3b + 9

= (b2 + 3b) + (3b + 9)

= b (b + 3) + 3 (b + 3)

= (b + 3)(b + 3)

= (b + 3)2

= (x – y)2

Faktorisasi x2 – y2

Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat mampu dijabarkan sebagai berikut:

x2 – y2

= x2 + (xy – xy) – y2

= (x2 + xy) – (xy + y2)

= x (x +y) – y(x + y)

= (x + y)(x – y)

Maka dari itu, dapat disimpulkan bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat dirumuskan seperti ini:

Contoh soal:

1. 3p2 – 12

= 3(p2 – 4)

= 3 (p – 2)(p + 2)

2. x2– 25

= x2 – (5)2

= (x + 5)(x – 5)

1. 64a2 – 9

= (8a)2 – (3)2

= (8a + 3)(8a – 3)

1. 9m2 – 16

= (3m)2 – (4)2

= (3m + 4)(3m – 4)

Faktorisasi x2 + bx + c

Umumnya, x2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq dengan p + q = b dan pq = c.

Jadi, saat ingin melakukan pemfaktoran x2 + bx + c, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan jika dikalikan hasilnya c.

Contoh:

1. 2×2 + 7x + 3

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 2 × 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2×2 + 7x + 3

= 2×2 + x +6x + 3

= (2×2 + x) + (6x + 3)

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

= (x + 3)(2x + 1)

1. 3×2 + 16x + 5

Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 3 × 5 = 15 dan jumlahnya 16 adalah 15 dan 1, sehingga

3×2 + 16x + 5

= 3×2 + 15x + x + 5

= (3×2 + x) + (15x + 5)

= x(3x + 1) + 5(3x + 1)

= (x + 5)(3x + 1)

Faktorisasi ax2 + bx + c; a ≠ 0, a ≠ 1

Ada beberapa langkah yang harus kamu lakukan secara runtut untuk mengerjakan ax2 + bx + c.

• Anggap bahwa bentuk ax2 + bx + c dapat ditulis menjadi seperti berikut.

• Jika kamu kalikan persamaan yang ada di sebelah kanan kemudian dibandingkan dengan persamaan sebelah kiri akan didapatkan hubungan seperti p + q = b dan p x q = ac. Carilah p dan q yang bersesuaian dengan hubungan tersebut. Mulailah dari perkalian, cocokkan p dan q yang didapatkan dengan penjumlahannya.
• Langkah terakhir adalah mensubstitusikan kembali p dan q yang didapat pada persamaan pada langkah (a), kemudian lakukan faktorisasi dua suku untuk menghilangkan penyebutnya, lihat contoh dibawah ini:

Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Menyederhanakan pecahan aljabar bisa dilakukan bersama memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, lantas dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.

Contoh:

Contoh Soal Aljabar

1. Berapakah hasil pemfaktoran dari bilangan berikut ini 16×2 − 9y2 ?

Jawab:

a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b )

16×2 = ( 4x ) 2

9y2 = ( 3y ) 2

Faktor dari 9y2 = ( 3y )2 adalah 16×2 – 9y2 = ( 4x + 3y ) ( 4x – 3y )

1. Berapakah hasil dari bilangan berikut ini ( 2x – 2 ) ( x + 5 ) ?

Jawab:

( 2x – 2 ) ( x + 5 ) = 2x ( x + 5 ) – 2 ( x + 5 )

= 2x 2 + 10x – 2x – 10

= 2x 2 + 8x – 10

1. Tulislah bentuk sederhana dari bilangan berikut ini 3×2 – 13x – 10 / 9×2 – 4 ?

Pemfaktoran dari pembilang nya :

3×2 – 13x – 10 = 3×2 – 15x + 2x – 10

= 3x ( x – 5 ) + 2 ( x – 5 )

= ( 3x + 2 ) ( x – 5 )

Pemfaktoran dari penyebut nya :

9×2 – 4 = ( 3x + 2 ) ( 3x – 2 )

Sehingga akan diperoleh :

3×2 – 13x – 10 / 9×2 – 4 = ( 3x + 2 ) ( x – 5 ) / ( 3x + 2 ) ( 3x – 2 )

Itulah tadi pembahasan aljabar SMP kelas 7, semoga bisa bermanfaat untuk pengetahuan tentang matematika kamu!